Признаки делимости на 3, 7, 11 и 13: Как мгновенно понять, делится ли число

Признаки делимости помогают быстро определить, можно ли разделить число нацело, не выполняя обычное деление столбиком или на калькуляторе. Для 3 достаточно сложить цифры, для 7 и 13 применяют короткие повторяющиеся преобразования, для 11 — чередующуюся сумму цифр. А если нужно проверить длинное число сразу на 7, 11 и 13, удобнее использовать метод трёхзначных блоков.

Главная идея всех правил — свойства десятичной системы счисления. В зависимости от делителя степени числа 10 дают предсказуемые остатки, благодаря чему большое число можно заменить гораздо меньшим выражением.

Быстрая шпаргалка

• На 3: число делится на 3, если сумма всех его цифр кратна 3. Нужно сложить цифры и проверить полученный результат.

• На 7: от числа без последней цифры нужно вычесть удвоенную последнюю цифру. Если результат делится на 7, исходное число также делится на 7. При необходимости преобразование повторяют.

• На 11: нужно найти разность между суммами цифр, стоящих на чередующихся позициях. Если она кратна 11, число делится на 11.

• На 13: к числу без последней цифры нужно прибавить последнюю цифру, умноженную на 4. Если результат делится на 13, исходное число также делится на 13.

• Сразу на 7, 11 и 13: число разбивают справа налево на группы по три цифры и находят знакочередующуюся сумму блоков. Если результат делится на нужный делитель, исходное число делится на него.

Важно: выражение «кратно делителю» не означает, что результат обязан быть равен нулю. Для 7 подойдут 0, 7, -7, 14, -14 и другие кратные значения. Для 11 это 0, 11, -11, 22, -22. Для 13 — 0, 13, -13, 26, -26 и так далее.

Признак делимости на 3

Правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пример:

58 947: 5 + 8 + 9 + 4 + 7 = 33

Так как 33 делится на 3, число 58 947 также делится на 3:

58 947 / 3 = 19 649

Ещё один пример:

124 681: 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 1 = 22

Число 22 не делится на 3, поэтому 124 681 на 3 не делится.

Почему это работает

Любое число можно представить как сумму разрядов. Например:

4 582 = 4 × 1000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 2

При делении на 3 каждая степень числа 10 даёт остаток 1:

10 ≡ 1 (mod 3)

100 ≡ 1 (mod 3)

1000 ≡ 1 (mod 3)

Поэтому остаток самого числа совпадает с остатком суммы его цифр:

4 582 ≡ 4 + 5 + 8 + 2 = 19 (mod 3)

Именно поэтому сумму цифр можно сокращать несколько раз:

987 654 321 → 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 → 4 + 5 = 9

Поскольку 9 делится на 3, исходное число также делится на 3.

Признак делимости на 7

Для 7 нет такого же простого одношагового правила, как для 3, но есть удобное преобразование, которое можно повторять.

Правило: отделите последнюю цифру, умножьте её на 2 и вычтите результат из оставшейся части числа. Если получившееся число делится на 7, исходное число тоже делится на 7.

Если число записано как:

N = 10a + b

где b — последняя цифра, а a — число без последней цифры, нужно проверить выражение:

a — 2b

Пример: число делится на 7

Проверим число 658:

65 — 2 × 8 = 65 — 16 = 49

49 / 7 = 7

Следовательно:

658 / 7 = 94

Пример: длинное число

Проверим число 72 548:

7254 — 2 × 8 = 7238

723 — 2 × 8 = 707

70 — 2 × 7 = 56

56 / 7 = 8

Следовательно:

72 548 / 7 = 10 364

Пример: число не делится на 7

Проверим 1 247:

124 — 2 × 7 = 110

11 — 2 × 0 = 11

Число 11 не кратно 7, поэтому 1 247 на 7 не делится.

Обратная форма правила

Иногда удобнее не вычитать удвоенную последнюю цифру из оставшейся части, а делать наоборот:

2b — a

Это равнозначный вариант, поскольку выражения отличаются только знаком.

Например, для 658:

2 × 8 — 65 = -49

Число -49 кратно 7, значит, 658 также делится на 7.

Почему это работает

Пусть:

N = 10a + b

Сравним исходное число с выражением a — 2b:

N — 10(a — 2b) = 10a + b — 10a + 20b = 21b

Число 21b всегда делится на 7. Значит, N и a — 2b дают одинаковый результат с точки зрения делимости на 7:

7 | N тогда и только тогда, когда 7 | (a — 2b)

Признак делимости на 11

Правило: число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах кратна 11.

Можно начинать считать как слева, так и справа. Важно только последовательно чередовать знаки.

Общая схема:

(a1 + a3 + a5 + …) — (a2 + a4 + a6 + …)

Пример: разность равна нулю

Проверим число 2 343:

2 — 3 + 4 — 3 = 0

Ноль кратен 11, следовательно:

2 343 / 11 = 213

Пример: другое число, делящееся на 11

Проверим 48 741:

4 — 8 + 7 — 4 + 1 = 0

Следовательно:

48 741 / 11 = 4 431

Пример: разность не нулевая, но число делится

Проверим 93 456:

9 — 3 + 4 — 5 + 6 = 11

Разность равна 11, а не нулю. Но 11 кратно 11, поэтому число делится:

93 456 / 11 = 8 496

Пример: число не делится на 11

Проверим 12 345:

1 — 2 + 3 — 4 + 5 = 3

Три не кратно 11, поэтому 12 345 на 11 не делится.

Почему это работает

При делении на 11 число 10 даёт остаток -1:

10 ≡ -1 (mod 11)

Следующие степени десятки чередуют остатки:

10^2 ≡ 1 (mod 11)

10^3 ≡ -1 (mod 11)

Поэтому цифры в разрядной записи получают чередующиеся знаки плюс и минус. Обычная сумма цифр, как в признаке делимости на 3, здесь не подходит.

Признак делимости на 13

Правило: отделите последнюю цифру, умножьте её на 4 и прибавьте результат к оставшейся части числа. Если получившееся число делится на 13, исходное число также делится на 13.

Если:

N = 10a + b

то проверяют выражение:

a + 4b

Пример: число делится на 13

Проверим 2 431:

243 + 4 × 1 = 247

24 + 4 × 7 = 52

52 / 13 = 4

Следовательно:

2 431 / 13 = 187

Пример: ещё одно число

Проверим 7 345:

734 + 4 × 5 = 754

75 + 4 × 4 = 91

91 / 13 = 7

Следовательно:

7 345 / 13 = 565

Пример: число не делится на 13

Проверим 5 432:

543 + 4 × 2 = 551

55 + 4 × 1 = 59

59 не делится на 13, поэтому 5 432 на 13 не делится.

Почему это работает

Пусть:

N = 10a + b

Сравним число N с выражением a + 4b:

4N — (a + 4b) = 4(10a + b) — a — 4b = 39a

Так как:

39 = 3 × 13

выражение 4N — (a + 4b) всегда кратно 13. Поэтому:

13 | N тогда и только тогда, когда 13 | (a + 4b)

Единый признак для 7, 11 и 13

Для длинных чисел особенно полезен общий метод, основанный на равенстве:

1001 = 7 × 11 × 13

Из этого следует:

1000 ≡ -1 (mod 7)

1000 ≡ -1 (mod 11)

1000 ≡ -1 (mod 13)

Поэтому одно и то же преобразование подходит для проверки делимости на 7, 11 и 13.

Как применять метод трёхзначных блоков

• Разделите число справа налево на блоки по три цифры.

• Начните с крайнего правого блока и поставьте перед ним знак «плюс».

• Перед следующим блоком поставьте знак «минус».

• Продолжайте чередовать знаки: плюс, минус, плюс, минус.

• Найдите итоговую сумму блоков.

• Проверьте, делится ли она на 7, 11 или 13 — в зависимости от нужной задачи.

Левый блок может состоять из одной, двух или трёх цифр. Например, в записи 68 | 987 | 919 первый блок равен 68.

Пример: число делится одновременно на 7, 11 и 13

Проверим число 68 987 919:

68 | 987 | 919

919 — 987 + 68 = 0

Ноль делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, исходное число делится на все три делителя одновременно, то есть на 1001:

68 987 919 = 1001 × 68 919

Пример: проверка на 7

Проверим 4 218 273:

4 | 218 | 273

273 — 218 + 4 = 59

Число 59 не делится на 7. Следовательно, 4 218 273 на 7 не делится.

Пример: проверка на 11

Проверим 8 714 398:

8 | 714 | 398

398 — 714 + 8 = -308

-308 / 11 = -28

Следовательно, 8 714 398 делится на 11.

Пример: проверка на 13

Проверим 5 632 692:

5 | 632 | 692

692 — 632 + 5 = 65

65 / 13 = 5

Следовательно, 5 632 692 делится на 13.

Какой признак выбирать

• Если нужно проверить делимость на 3, всегда начинайте с суммы цифр. Это самый быстрый способ.

• Если проверяете число на 7 и в нём немного цифр, используйте правило «вычесть удвоенную последнюю цифру».

• Если нужно проверить делимость на 11, используйте чередующуюся сумму отдельных цифр. Она обычно быстрее любого деления.

• Если проверяете на 13 число средней длины, прибавляйте к оставшейся части учетверённую последнюю цифру.

• Если число длинное или нужно сразу проверить делимость на 7, 11 и 13, разбивайте его на трёхзначные блоки. Это сокращает вычисления и даёт единый универсальный результат.

• Если итог после преобразования отрицательный, это не ошибка. Отрицательное число тоже может быть кратно делителю: например, -49 делится на 7, -22 — на 11, а -26 — на 13.

Типичные ошибки

• При проверке на 3 учитывают не все цифры. Складывать нужно каждую цифру числа.

• При проверке на 7 забывают умножить последнюю цифру на 2. Правильное выражение: a — 2b.

• При проверке на 11 считают, что разность должна быть только нулевой. На самом деле она может быть равна 11, -11, 22, -22 и любому другому числу, кратному 11.

• При проверке на 13 прибавляют последнюю цифру без умножения на 4. Правильное выражение: a + 4b.

• В общем методе для 7, 11 и 13 складывают трёхзначные блоки с одинаковыми знаками. Знаки нужно чередовать.

• При появлении отрицательного промежуточного результата делают вывод об ошибке. Это неверно: достаточно проверить, делится ли полученное число на нужный делитель.

Краткий итог

• На 3: сложите цифры числа.

• На 7: от числа без последней цифры вычтите удвоенную последнюю цифру.

• На 11: сложите цифры с чередующимися знаками плюс и минус.

• На 13: к числу без последней цифры прибавьте последнюю цифру, умноженную на 4.

• На 7, 11 и 13: разбейте число на блоки по три цифры и найдите их знакочередующуюся сумму.

Основа этих правил — свойства числа 10 при делении на разные числа:

• 10 ≡ 1 (mod 3)
• 10 ≡ -1 (mod 11)
• 1000 ≡ -1 (mod 7)
• 1000 ≡ -1 (mod 11)
• 1000 ≡ -1 (mod 13)

Источник: maths4school.ru